La solución al desafío áureo de Ciencia descarriada

Este es el desafío áureo. Si no sabés de qué se trata podés consultar primero esta entrada anterior de Ciencia descarriada: El desafío áureo

Y ahora sí, a demostrarlo. Vamos, dale, no te inhibas. Es más simple de lo que parece

1 - Indiquemos en la figura algunos ángulos.

¿Cómo se calculan? Deducilos vos, es muy fácil!

2 - Ahora, con ayuda de las simetrías y los ángulos vemos con claridad tres triángulos isósceles y semejantes, en color verde, azul y rojo

Entonces se pueden hacer estas proporciones.

Primero entre el verde y el azul. El lado del verde es al lado del azul como la base del verde es a la base del azul:

AB/BC=BC/CD (1)

Y ahora entre el azul y el rojo. El lado del azul es al lado del rojo como la base del azul es a la base del rojo:

BC/CD=CD/DE (2)

Por propiedad transitiva, de (1) y (2) nos queda

AB/BC=BC/CD=CD/DE (3)

NO te rindas! Solo falta demostrar que esas tres proporciones son iguales a la razón áurea

3 - Ahora todo está en manos del segmento AB

Por definición del número áureo (consultá la entrada El desafío áureo), si en el segmento AB se cumple AB/BF=BF/FA entonces AB/BF=BF/FA=1,618...  ¿Lo demostramos?

Veamos primero a qué es igual AB/BF:

AB/BF=AB/BC, pero de (1): AB/BC=BC/CD, por lo tanto por propiedad transitiva AB/BF=BC/CD (4)

Ahora veamos a qué es igual BF/FA:

Por semejanza de triángulos  BF/FA=BC/CD (5)

Y ahora por propiedad transitiva, de (4) y (5) nos queda que se cumple el planteo inicial AB/BF=BF/FA:

Por lo tanto AB/BF=BF/FA=BC/CD=1,618... (6)

Y de (3) y de (6):  AB/BC=BC/CD=CD/DE=1,618...