martes, 25 de febrero de 2014

La solución al desafío áureo de Ciencia descarriada

Este es el desafío áureo. Si no sabés de qué se trata podés consultar primero esta entrada anterior de Ciencia descarriada: El desafío áureo


Y ahora sí, a demostrarlo. Vamos, dale, no te inhibas. Es más simple de lo que parece

1 - Indiquemos en la figura algunos ángulos.

¿Cómo se calculan? Deducilos vos, es muy fácil!


2 - Ahora, con ayuda de las simetrías y los ángulos vemos con claridad tres triángulos isósceles y semejantes, en color verde, azul y rojo


Entonces se pueden hacer estas proporciones.

Primero entre el verde y el azul. El lado del verde es al lado del azul como la base del verde es a la base del azul:

AB/BC=BC/CD (1)


Y ahora entre el azul y el rojo. El lado del azul es al lado del rojo como la base del azul es a la base del rojo:

BC/CD=CD/DE (2)


Por propiedad transitiva, de (1) y (2) nos queda

AB/BC=BC/CD=CD/DE (3)

NO te rindas! Solo falta demostrar que esas tres proporciones son iguales a la razón áurea

3 - Ahora todo está en manos del segmento AB


Por definición del número áureo (consultá la entrada El desafío áureo), si en el segmento AB se cumple AB/BF=BF/FA entonces AB/BF=BF/FA=1,618...  ¿Lo demostramos?

Veamos primero a qué es igual AB/BF:

AB/BF=AB/BC, pero de (1): AB/BC=BC/CD, por lo tanto por propiedad transitiva AB/BF=BC/CD (4)

Ahora veamos a qué es igual BF/FA:

Por semejanza de triángulos  BF/FA=BC/CD (5)

Y ahora por propiedad transitiva, de (4) y (5) nos queda que se cumple el planteo inicial AB/BF=BF/FA:

Por lo tanto AB/BF=BF/FA=BC/CD=1,618... (6)

Y de (3) y de (6):  AB/BC=BC/CD=CD/DE=1,618...


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